ฟังก์ชัน

ความหมายของฟังก์ชัน      ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

นั่นคือ       ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิก ตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก           r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี  x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟ ของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันจาก A ไป B • ฟังก์ชันจาก A ไป B          f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B          f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A  B • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B          f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B          หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2 • ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df ♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2) ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2) ฟังก์ชันที่ควรรู้จักร • ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง a < 0 a = 0 a > 0 • ฟังก์ชันขั้นบันได (step function) กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได • ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function) กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา • ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function) • ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) • ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function)             f เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีำจำนวนจริง p ที่ทำให้ f(x+p) = f(x) สำหรับ ทุกค่าของ x และ x+p ที่อยู่ในโดเมนของ f ฟังก์ชันอินเวิอร์ส       เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้ เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น กำหนด f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)} ∴ f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน กำหนด g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)} ∴ g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน       เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน 1. f - 1 เป็นฟังก์ชัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 2. Df = R f - 1 และ Rf = Df - 1 ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function)             ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg ตัวอย่างที่ 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ g = {(4,7), (5,7), (6,8)} (gof)(1) = g(f(1)) = g(5) = 7 (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7 (gof)(3) = g(f(3)) = g(6) = 8 ∴ gof = {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A ข้อสังเกต      จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra of Function)             ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg ตัวอย่างที่ 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ g = {(4,7), (5,7), (6,8)} (gof)(1) = g(f(1)) = g(5) = 7 (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7 (gof)(3) = g(f(3)) = g(6) = 8 ∴ gof = {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A ข้อสังเกต      จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø