ตรรกศาสตร์

ประพจน์ บทนิยาม	ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ  ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
		ตัวอย่างเช่น
		• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้	เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
		• ใครทำจานแตก	ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอก ไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
		• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความ จริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ไม่เป็นประพจน์ ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน ประพจน์ที่สมมูลกัน            ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → q สมมูลกับ ~p ∨ q p → q สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน            ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p) พิสูจน์ จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p          ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q สัจนิรันดร์       ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∨ ~q [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q ~(p ∧ ~q) [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p (p ∧ q) → p (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∧ q) → q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) p → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~p ∨ q) q → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~q → ~p) [ p ∧ ( p → q)] → q (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p) [ ~p ∧ ( p → q)] → ~q ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิ รันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์ พิสูจน์ ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ ประโยคเปิด บทนิยาม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปร ทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์           เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ  Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ  Q(x,y) ตัวอย่างเช่น • เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา” • x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x” ตัวบ่งปริมาณ           ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลาย เป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ 1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว” 2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว” ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง 2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ 3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง 4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)] ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)] ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)] ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)] ตัวอย่างเช่น • ∀x[x < 0] เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ • ∃x[x < 0]เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง การอ้างเหตุผล   การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารสรุปผลที่ตามมา C ได้" การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ 1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้ 2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา            สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จาก ประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็น สัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น เหตุ 1. p → q 2. p ผล q