| | |
สมบัติของจำนวนจริง • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง |
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a |
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a |
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c |
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c |
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc |
| |
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง |
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
| 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
| 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
| |
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง |
| กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
| 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
| นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
| 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 |
| 6. สมบัติการแจกแจง |
| a( b + c ) = ab + ac |
| ( b + c )a = ba + ca |
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก |
| | เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b |
| | ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ |
| | เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b |
| | ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | a · 0 = 0 |
| | 0 · a = 0 |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | (-1)a = -a |
| | a(-1) = -a |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | a(-b) = -ab |
| | (-a)b = -ab |
| | (-a)(-b) = ab |
| | |
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
| | |
| • การลบจำนวนจริง |
| | |
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | a- b = a + (-b) |
| | นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b |
| | |
| • การหารจำนวนจริง |
| | |
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 |
| | |
| |
| นั่นคือ |  | คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b |
|
การแก้สมการตัวแปรเดียว
| บทนิยาม | สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป |
| | anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 |
| | เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n" |
| | |
| x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 |
| | 4x2 + 4x +1 = 0 |
| | 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 |
| | |
| • การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 |
| สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ |
| | |
| ทฤษฎีบทเศษเหลือ |
| | เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
| | โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
| | ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ |
| | การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) |
| |
| นั่นคือ เศษของ |  | คือ f(c) |
|
| | |
| ทฤษฎีบทตัวประกอบ |
| | เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
| | โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
| | พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 |
| |
| ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ | | คือ 0 |
|
| | แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว |
| | นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| | |
| ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ |
| | เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
| | โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
| | ถ้า x - เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม |
| | ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว |
| | (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an |
| | (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0 |
| | |
| | ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้ |
| | 1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ |
| | f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ |
| |
| 2. นำ x - c หรือ x - | | ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร |
|
| | จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1 |
| | 3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2. |
| - |
| ตัวอย่างที่ 1 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0 |
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2 |
| | ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0 |
| | ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| |
| ∴ |  | = x2 - x - 2 |
|
| | x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2) |
| | = (x-1)(x-2)(x+1) |
| | x3 - 2x2 - x + 2 = 0 |
| | (x-1)(x-2)(x+1) = 0 |
| | x = 1, 2, -1 |
| | ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
|
| ตัวอย่างที่ 2 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 |
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18 |
| | ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0 |
| | ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| | ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18) |
| | = (x-1)(x-3)(x-6) |
| | x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 |
| | (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0 |
| | x = 1, 3, 6 |
| | ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6} |
|
| ตัวอย่างที่ 3 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0 |
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3 |
| | ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0 |
| | = 27 - 9 - 15 - 3 |
| | = 0 |
| | ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| | ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1) |
| | = (x-3)(x+1)(x+1) |
| | x3 - x2 - 5x - 3 = 0 |
| | (x-3)(x+1)(x+1) = 0 |
| | x = 3, -1 |
| | ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3} |
|
| ตัวอย่างที่ 4 | จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0 |
| วิธีทำ | ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30 |
| | ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0 |
| | = 16 - 12 - 34 +30 |
| | = 0 |
| | ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| | ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15) |
| | = (x-2)(2x - 5)(x+3) |
| | 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0 |
| | (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0 |
| |
x =2, |  | , -3 |
|
| |
| ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, | | } |
|
|
| ตัวอย่างที่ 5 | จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0 |
| วิธีทำ | ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4 |
| | ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0 |
| | = -48 + 44 + 8 - 4 |
| | = 0 |
| | ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) |
| | ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2) |
| | = (x+2)(3x-2)(2x+1) |
| | 6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0 |
| | (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0 |
| |
x = -2, |  | , |  |
|
| |
| ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, | | , | | } |
|
สมบัติของการไม่เท่ากัน |
| บทนิยาม | a < b หมายถึง a น้อยกว่า b |
| | a > b หมายถึง a มากกว่า b |
| | | |
| • สมบัติของการไม่เท่ากัน |
| | กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | 1. | สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c |
| | 2. | สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c |
| | 3. | จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ |
| | | a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 |
| | | a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 |
| | 4. | สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ |
| | | ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc |
| | | ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc |
| | 5. | สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b |
| | 6. | สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ |
| | | ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b |
| | | ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b |
| | | |
| บทนิยาม |
| a ≤ b | หมายถึง | a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b |
| a ≥ b | หมายถึง | a มากกว่าหรือเท่ากับ b |
| a < b < c | หมายถึง | a < b และ b < c |
| a ≤ b ≤ c | หมายถึง | a ≤ b และ b ≤ c |
|
| | |
ช่วงของจำนวนจริง และการแก้อสมการ |
| • ช่วงของจำนวนจริง |
| | กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b |
| | 1. ช่วงเปิด (a, b) |
| | (a, b) = { x | a < x < b } |
| |  |
| | |
| | 2. ช่วงปิด [a, b] |
| | [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } |
| |  |
| | |
| | 3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] |
| | (a, b] = { x | a < x ≤ b } |
| |  |
| | |
| | 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) |
| | [a, b) = { x | a ≤ x < b } |
| |  |
| | |
| | 5. ช่วง (a, ∞) |
| | (a, ∞) = { x | x > a} |
| |  |
| | |
| | 6. ช่วง [a, ∞) |
| | [a, ∞) = { x | x ≥ a} |
| |  |
| | |
| | 7. ช่วง (-∞, a) |
| | (-∞, a) = { x | x < a} |
| |  |
| | |
| | 8. ช่วง (-∞, a] |
| | (-∞, a] = { x | x ≤ a} |
| |  |
| | |
| • การแก้อสมการ |
| | อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว |
| | คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
| | เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
| | |
| | หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว |
| | เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น |
| | 1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
| | ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c |
| | 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
| | ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc |
| | ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc |
|
ตัวอย่างที่ 1จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 วิธีทำ x + 3 > 12 ∴ x + 3 + (-3)>12 + (-3) x > 9 ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)
ตัวอย่างที่ 2จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 วิธีทำ 2x + 1 < 9 ∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1) 2x < 8
 | (2x) |
| < |
| (8) |
|
∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5 วิธีทำ 4x - 5≤2x + 5 4x - 5 + 5≤2x + 5 + 5 4x≤2x + 10 4x - 2x≤2x + 10 - 2x 2x≤10
| (2x) |
| ≤ |
| (10) |
|
|
| |
x≤5 ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
| |
| | หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง |
| | กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| | 1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 |
| |
| 2. ถ้า | | = 0 แล้ว จะได้ a = 0 |
|
| | 3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
| | 4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
| | 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0 |
| | 6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0 |
| |
| 7. ถ้า | | > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
|
| |
| 8. ถ้า | | < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
|
| |
| 9. ถ้า | | ≥ 0 แล้ว จะได้ | | > 0 หรือ | | = 0 |
|
| |
10.
ถ้า | | ≤ 0 แล้ว จะได้ | | < 0 หรือ | | = 0 |
|
|
| ตัวอย่างที่ 4 | จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 |
| วิธีทำ | | ถ้า (x - 3)(x - 4) | > | 0 แล้วจะได้ |
| | | x - 3 | > | 0 และ x - 4 > 0 |
| | | x | > | 3 และ x > 4 |
| |  |
| | ∴ | เมื่อ x - 3 | > | 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4 |
| | | หรือ x - 3 | < | 0 และ x - 4 < 0 |
| | | x | < | 3 และ x < 4 |
| |  |
| | ∴ | x - 3 | < | 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 |
| | นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ |
| | { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ ) |
|
| ตัวอย่างที่ 5 | จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 |
| วิธีทำ | | ถ้า (x - 3)(x - 4) | < | 0 แล้วจะได้ |
| | | x - 3 | > | 0 และ x - 4 < 0 |
| | | x | > | 3 และ x < 4 |
| |  |
| | ∴ | เมื่อ x - 3 | > | 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4 |
| | | หรือ x - 3 | < | 0 และ x - 4 > 0 |
| | | x | < | 3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ |
| |  |
| | ∴ | ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0 |
| | นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ |
| | { x | 3 < x < 4 } = (3, 4) |
|
| จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้ |
| กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว |
| 1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b |
| 2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b |
| 3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b |
| 4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b |
| 5. ถ้า |  | > 0 จะได้ x < a หรือ x > b |
| 6. ถ้า | | < 0 จะได้ a < x < b |
| 7. ถ้า | | ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b |
| 8. ถ้า | | ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b |
| หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ |
 |
ค่าสัมบูรณ์
| บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง |
 |
| | นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ |
| |
| • สมบัติของค่าสัมบูรณ์ |
| | 1. |x| = |-x| |
| | 2. |xy| = |x||y| |
| |
| 3. |  | = |  |
|
| | 4. | x - y | = | y - x | |
| | 5. |x|2 = x2 |
| | 6. | x + y | ≤ |x| +|y| |
| | 7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |
| | |x| < a หมายถึง -a < x < a |
| | |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a |
| | 8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |
| | |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |
| | |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
|
| สัจพจน์ของความบริบูรณ์ |
สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ 1. a เป็นขอบเขตบนของ S 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ตัวอย่างที่ 1ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6] จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
ตัวอย่างที่ 2ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7) จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 3ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4} จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 4ให้ S = [-2, ∞] จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5ให้ S ≠ Ø จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด |
|
