แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
| พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ |
 |
| จากทฤษฎีบทปิทาโกรัส จะได้ว่า |
| | P1P2 = |  |
| | P1P2 = |  |
| | P1P2 = |  |
| นั่นคือ ถ้า P1 (x1, y1)และ P2 (x2, y2) เป็นจุดในระบบพิกัดฉากแล้ว |
| ระยะห่างระหว่างจุด P1 และ P2 = | |
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
| พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ |
 |
| จากรูป ลาก P1R ขนานกับแกน x ดังนั้นพิกัดของจุด R เป็น (x2, y1) |
ลาก PQ และ P2R ขนานกับแกน y ดังนั้นพิกัดของจุด Q เป็น (  , y1) |
| |  | = |  |
| P เป็นจุดกึ่งกลางของ P1P2 |
| ∴ | | = |  |
| ∴ | | = | |
| ∴ | P1Q | = |
| P1R |
|
| ∴ Q เป็นจุดกึ่งกลางของ P1R |
| ∴ | P1Q | = | QR |
| | - x1 | | = | | x2 - | |
| ∴ | - x1 | = | x2 - |
| | 2 | = | x1 + x2 |
| ∴ | | = |  |
| และเช่นเดียวกัน |  | = | |
| ∴ | | = | |
| | PQ | = |
| P2R |
|
| |
| | |  | - y 1 | |
| = |
| | y2 - y1 | |
|
| ∴ |
| | | - y 1 |
| = |
| ( y2 - y1) |
|
| |
| 2 | | - 2y 1 |
| = | y2 - y1 |
| | 2 | = | y1 + y2 |
| ∴ | | = |  |
| นั่นคือถ้า P( | , | ) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว |
|
|
ความชันของเส้นตรง
| พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ |
 |
| ถ้ากำหนดให้ m เป็นความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว |
| ความชัน m = |  |
|
|
เราสามารถนำเอานิยามของความชันที่กล่าวมาข้างต้นไปใช้ในการอธิบายคุณสมบัติของเส้นตรง
สองเส้นที่ขนานและตั้งฉากกันได้ดังนี้ |
| เส้นขนาน |
| ทฤษฎีบท | เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน |
| เส้นตั้งฉาก |
| ทฤษฎีบท | เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ -1 |
|
สมการของกราฟเส้นตรง
| 1. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x |
| กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน y และกำหนดให้เส้นตรง L ตัดแกน y ที่จุด (0, b) |
| ถ้า b > 0 เส้นตรง L จะอยู่เหนือแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย |
| ถ้า b = 0 เส้นตรง L จะทับแกน x |
| ถ้า b < 0 เส้นตรง L จะอยู่ใต้แกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย |
| สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x คือ y = b |
|
| ตัวอย่างเช่น |
| (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่เหนือแกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = 5 |
| (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และทับแกน x มีสมการเป็น y = 0 |
| (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = -5 |
|
| |
| 2. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y |
| กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน x และกำหนดให้เส้นตรง Lตัดกับแกน x ที่จุด (a, 0) |
| ถ้า a > 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางขวาของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย |
| ถ้า a = 0 เส้นตรง L จะทับแกน y |
| ถ้า a < 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางซ้ายของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย |
| สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ x = a |
|
| ตัวอย่างเช่น |
| (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางขวาของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = 5 |
| (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และทับแกน y มีสมการเป็น x = 0 |
| (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางซ้ายของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = -5 |
|
| |
| 3. สมการของกราฟเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y |
| กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y มีความชัน = m และผ่านจุด (x1, y1) |
 |
| จากรูปให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L |
| ∴ ความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x, y) เท่ากับ |  |
|
| ∴ | | = m |
| | y - y1 | = m(x - x 1) |
|
| ดังนั้นสมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1) คือ y - y1 = m(x - x 1) |
|
| ตัวอย่างเช่น |
(1) สมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ  และผ่านจุด (1, 2) คือ |
y - 2 = (x-1)
|
หรือ 2x - 3y +4 = 0
|
| |
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด และระยะระหว่างเส้นคู่ขนาน
| ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด |
| ถ้ากำหนดให้ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 เท่ากับ d |
ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x 1, y 1) คือ d =  |
|
|
| ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน |
| กำหนดเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเส้นตรง Ax + By + C2 = 0 ขนานกัน |
ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x 1, y 1) คือ d =  |
|
|
|
